Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay): S = C6^1 + 2C6^2 + 3C6^3 + 4C6^4 + 5C6^5 + 6C6^6.
Giải thích
Lời giải
Áp dụng kết quả \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với 1 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:
\(S = 1.C_6^1 + 2C_6^2 + 3C_6^3 + 4C_6^4 + 5C_6^5 + 6C_6^6\)
\( = 6C_{6 - 1}^{1 - 1} + 6C_{6 - 1}^{2 - 1} + 6C_{6 - 1}^{3 - 1} + 6C_{6 - 1}^{4 - 1} + 6C_{6 - 1}^{5 - 1} + 6C_{6 - 1}^{6 - 1}\)
\( = 6.\left( {C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5} \right)\)
\( = 6.\left( {C_5^0{{.1}^5} + C_5^1{{.1}^4}.1 + C_5^2{{.1}^3}{{.1}^2} + C_5^3{{.1}^2}{{.1}^3} + C_5^4{{.1.1}^4} + C_5^5{{.1}^5}} \right)\)
= 6.(1 + 1)5 = 6.25 = 192.
Vậy S = 192.