Cho chóp S . A B C D có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh B C , C D , S D . (ảnh 1)

a) Xét tam giác \(SDC\) có: \(P,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,CD.\)

Suy ra \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(NP{\rm{//}}SC.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

b) Gọi \(I = AC \cap MN.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right).\)

Mặt khác: \(NP{\rm{//}}SC\) và \(NP \subset \left( {MNP} \right);\,\,SC \subset \left( {SAC} \right).\)

\( \Rightarrow d = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right)\) với \(d\) đi qua \(I\) và song song với \(SC,\,\,NP.\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(Q = d \cap SA.\)

\( \Rightarrow Q \in d \subset \left( {MNP} \right).\)

Suy ra \(Q = SA \cap \left( {MNP} \right).\)

Vì \(d{\rm{//}}SC \Rightarrow QI{\rm{//}}SC\) (do \(d{\rm{//}}SC\)).

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác \(SAC\) với \(QI{\rm{//}}SC\) ta có \[\frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}.\]

Xét tam giác \(BCD\) có: \(N,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,BC.\)

Suy ra \(NM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(NM{\rm{//}}BD.\)

Xét tam giác \(DOC\) có: \(N\) là trung điểm của \(CD\) và \(NI{\rm{//}}DO\) (do \(NM{\rm{//}}BD\)).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(CO.\)

Suy ra \(CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).

Tính các giới hạn sau: