Tính biểu thức lim ( 1/( 2 √ 1 + 1 √ 2 )+ 1 /(3 √ 2 + 2 √ 3)+ . . . + 1 /(( n + 1 ) √ n + n √ n + 1 ))
Giải thích
\(\lim \left( {\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
\( = \lim \left( {\frac{{2\sqrt 1 - 1\sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} + \frac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{3 \cdot 2}} + ... + \frac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}} \right)\)
\( = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
\( = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\).
Trả lời: 1.