Tính biểu thức A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + . . . + 2^100 .

18/18

(0,5 điểm) Tính \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

\(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}} = {2^0} + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)

Ta có: \(2A = 2.\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\)

\(2A = {2.2^0} + {2.2^1} + {2.2^2} + {2.2^3} + ... + {2.2^{100}}\)

\(2A = {2^1} + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{101}}\).

Ta có: \(2A - A = \left( {{2^1} + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\)

\(A = {2^1} + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{101}} - {2^0} - {2^1} - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}}\)

\(A = - {2^0} + \left( {{2^1} - {2^1}} \right) + \left( {{2^2} - {2^2}} \right) + \left( {{2^3} - {2^3}} \right) + ... + \left( {{2^{100}} - {2^{100}}} \right) + {2^{101}}\)

\(A = {2^{100}} - {2^0} = {2^{100}} - 1\).

Vậy \(A = {2^{100}} - 1\).