Giải bài 4 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)

* Ta có: Giải bài 4 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có: Giải bài 4 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 (1)

* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:

Giải bài 4 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)

⇒ IN = IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.

Ta có: Giải bài 4 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 (1)

Mặt khác; IM = IN = IP = r.

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)

⇒ JM = JN = JP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC,

Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên