Tính a + b .

10/16

Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết giá trị của \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - a\sqrt 6 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b.\)

\[4\].

\[10\].

\[7\].

\[8\].

Giải thích

Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{6}\).

Do đó \(a = 2;b = 6\). Suy ra \(a + b = 8\). Chọn D.