Tìm x ∈ Z để M = (2023 − x )/(2022 − x) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Ta có \(M = \frac{{2023 - x}}{{2022 - x}} = \frac{{\left( {2022 - x} \right) + 1}}{{2022 - x}} = 1 + \frac{1}{{2022 - x}}\)

• Nếu \(\frac{1}{{2022 - x}} < 0\) thì \(M = 1 + \frac{1}{{2022 - x}} < 1\)

• Nếu \(\frac{1}{{2022 - x}} > 0\):

Để \(M = 1 + \frac{1}{{2022 - x}}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\frac{1}{{2022 - x}}\) đạt giá trị dương lớn nhất

Điều này có nghĩa với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(2022 - x\) là số nguyên dương nhỏ nhất

Tức là, \(2022 - x = 1\)

Do đó \(x = 2021\).

Khi đó \(M = 1 + \frac{1}{1} = 2\).

Vậy kết hợp 2 trường hợp, biểu thức \(M\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi \(x = 2021\).