Tìm x ∈ Z để biểu thức D = (√ x − 3)/( √ x + 2) có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(x \ge 0\).

Ta có: \(D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.\)

Để \(D\) có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\) là ước của \(5\).

Mà ước của \(5\) là: \( - 5; - 1;1;5.\)

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với mọi \(x \ge 0\).

Suy ra \(\sqrt x + 2 = 5\) do đó \(\sqrt x = 3\) và \(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 9\) thì \(D\) có giá trị nguyên.