Tìm x, y, z thỏa mãn: x^2 + y^2 + 2z^2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0.
Giải thích
Ta có:
x2 + y2 + 2z2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0
⇔ 2(x2 + y2 + 2z2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1) = 0
⇔ 2x2 + 2y2 + 4z2 + 2xy + 4yz + 4zx + 2x + 2y + 2 = 0
⇔ (x2 + 2xy + y2) + 4z(x + y) + 4z2 + (x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) = 0
⇔ (x + y)2 + 4z(x + y) + 4z2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 = 0
⇔ (x + y + 2z)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 = 0
Vì (x + y + 2z)2 ≥ 0 với mọi x, y, z
(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x
(y + 1)2 ≥ 0 với mọi y
Nên (x + y + 2z)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 ≥ 0 với mọi x, y, z
Suy ra x+y+2z=0x+1=0y+1=0⇔2z=−x−4x=−1y=−1⇔z=1x=−1y=−1
Vậy x = –1, y = –1, z = 1.