Tìm (x; y) thuộc ℤ thỏa mãn: (x-2018)^2=y^4-6y^3 11y^2-6y

Lời giải:

⦁ Xét vế phải của phương trình:

y⁴ ‒ 6y⁵ + 11y² ‒ 6y

= y(y³ ‒ 6y² + 11y ‒ 6)

= y(y³ – y² – 5y² + 5y + 6y – 6)

= y[y²(y – 1) – 5y(y – 1) + 6(y – 1)]

= y (y – 1)(y² – 5y + 6)

= y(y – 1)(y² – 2y – 3y + 6)

= y(y – 1)[y(y – 2) – 3(y – 2)]

= y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).

Vậy ta có (x ‒ 2018)² = y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).

⦁ Tìm giá trị của y:

Vì (x ‒ 2018)² ≥ 0 là số chính phương, nên y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) cũng là số chính phương không âm. Ta xét các trường hợp:

Nếu y ≤ 0 hoặc y ≥ 3 thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) sẽ không phải là số chính phương.

Nếu y = 1, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018

Nếu y = 2, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018.

Vậy ta có hai cặp nghiệm là (2018; 1) và (2018; 2).