Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x2 + 3xy + y2 là số chính phương

Lời giải:

+, Nếu x,y đều khác 3 

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x² + y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y²  chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

2y – 2k + 9	1	3	5
2y + 2k+ 9	45	15	9
y	7	0	-1 (L)
k	11	3	1

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.