Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD nhỏ nhất.

22/35

Cho tam giác \(OAB\) đều cạnh \(a\). Trên đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(OC = x\). Gọi \(H\,,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\) và \(BO\), gọi \(D\) là giao điểm của \(HK\) và \(\Delta \). Tìm \(x\) để thể tích khối tứ diện \(ABCD\) nhỏ nhất.

\(x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(x = \frac{a}{2}\).

\(x = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(x = a\sqrt 2 \).

Giải thích

Lời giải

Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD nhỏ nhất. (ảnh 1)

Tam giác \(OAB\) đều cạnh \(a\) có \(AK\) là đường cao nên \(K\) là trung điểm của đoạn \(OB\), \(OB = a\), \(OK = \frac{a}{2}\) và diện tích \({S_{\Delta OAB}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot \left( {OAB} \right)\\AK \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AK\), mà \(OB \bot AK \Rightarrow AK \bot \left( {OBC} \right)\) \( \Rightarrow AK \bot BC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \bot HK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có suy ra \(\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OK}}\) \( \Rightarrow OD = \frac{{OB \cdot OK}}{{OC}} = \frac{{a \cdot \frac{a}{2}}}{x} = \frac{{{a^2}}}{{2x}}\).

Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là:

\({V_{ABCD}} = {V_{C.OAB}} + {V_{D.OAB}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta OAB}} \cdot OC + \frac{1}{3}{S_{\Delta OAB}} \cdot OD\)\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \left( {x + \frac{{{a^2}}}{{2x}}} \right)\)\( \ge \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt {x \cdot \frac{{{a^2}}}{{2x}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\), đạt khi \(x = \frac{{{a^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Chọn A.