Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác M P Q nhỏ nhất.

Ta có tam giác \[MPQ\] cân tại \[M,\]có \[MO\] là đường cao nên diện tích của nó được tính:

\(S = 2{S_{OQM}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot OD \cdot QM = R\left( {MD + DQ} \right)\).

Để diện tích tam giác \[MPQ\] nhỏ nhất hay\[S\]nhỏ nhất thì \[MD + DQ\] nhỏ nhất.

Mặt khác, ta chứng minh được trong tam giác vuông \[OMQ\] ta có \(DM \cdot DQ = O{D^2} = {R^2}\) không đổi nên \[MD + DQ\] nhỏ nhất hay \[DM = DQ = R\].

Khi đó \(OM = R\sqrt 2 \) hay \[M\] là giao điểm của \[d\] với đường tròn tâm \[O\] bán kính \(R\sqrt 2 \).