Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x + ( m − 4 ) cos x − 2m + 5 = 0 có nghiệm.

\(4\sin x + \left( {m - 4} \right)\cos x - 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow 4\sin x + \left( {m - 4} \right)\cos x = 2m - 5\).

Phương trình có nghiệm khi \({4^2} + {\left( {m - 4} \right)^2} - {\left( {2m - 5} \right)^2} \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 12m + 7 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{6 - \sqrt {57} }}{3} \le m \le \frac{{6 + \sqrt {57} }}{3}\). Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có nghiệm là 10