Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau log căn bậc 4 của 5 (x^2-2x-3))

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về 2log5x2−2x−3=log2x2−2x−4 và đặt ẩn phụ t=log5x2−2x−3 đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm ft và tìm nghiệm của ft=0 từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1): log5x2−2x−3=2log2x2−2x−4

Điều kiện: x2−2x−3>0x2−2x−4>0⇔x2−2x−4>0

Vì x2−2x−<x2−2x−3,∀x∈R

1⇔2log5x2−2x−3=log2x2−2x−4*

Đặt t=log5x2−2x−3

⇒x2−2x−3=5t⇒x2−2x−4=5t−1>0⇔t>0

Phương trình (*) trở thành:

2t=log25t−1⇔5t−4t−1=0

Xét hàm số yt=5t−4t−1 trên 0;+∞

Có y't=5tln5−4tln4

Vì 5t>4t,∀t∈0;+∞;ln5>ln4 nên yt=5tln−4tln>0,∀t∈0;+∞

⇒ft đồng biến trên 0;+∞

Bảng biến thiên:

Mà ft=0⇒t=1 là nghiệm duy nhất phương trình ft=0

Với t=1⇒log5x2−2x−3=1

⇔x2−2x−3=5⇔x2−2x−8=0

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: x1+x2=2.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.