Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số y = x^2 có tung độ bằng 4.

a) Gọi điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( {x\,;\,\,4\,} \right)\).

Thay \(y = 4\) vào phương trình hàm số \(y = {x^2}\), ta có: \(4 = {x^2}.\)

Do đó \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\).

Vậy có hai điểm thỏa mãn là \(\left( {2\,;\,\,4} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,\,4} \right)\).

b) Xét phương trình \({x^2} - x - 1 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 5 > 0\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} = - 1}\end{array}} \right.\).

Vì là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 - {x_1} - 1 = 0\), suy ra \(x_1^2 = {x_1} + 1\).

Ta có biểu thức: \(C = x_1^2 - {x_1}x_2^2 + 2026\)\( = {x_1} + 1 - {x_1}x_2^2 + 2026\)\( = {x_1}\left( {1 - x_2^2} \right) + 2027.\)

Mặt khác, vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình nên \(x_2^2 - {x_2} - 1 = 0\), suy ra \(1 - x_2^2 = - {x_2}\).

Thay vào biểu thức \(C\), ta được: \(C = {x_1} \cdot \left( { - {x_2}} \right) + 2027 = - {x_1}{x_2} + 2027{\rm{ }}.\)

Thay \({x_1}{x_2} = - 1\) vào, ta có: \(C = - \left( { - 1} \right) + 2027 = 2028.\)

Vậy \(C = 2028\).