Tìm tọa độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số y = −1/3x^2, biết M có tung độ bằng −12 và có hoành độ âm.

Bài 3

(1,5điểm)

1. Tìm tọạ độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}{x^2}\), biết M có tung độ bằng \( - 12\) và có hoành độ âm.

2. Biết phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[A = \sqrt {x_1^4 + 11{x_1} + 29}  + 2{x_2}.\]

1. Cho \(y =  - 12\) ta có \( - 12 =  - \frac{1}{3}{x^2}\) nên \({x^2} = 36\) suy ra \(x =  \pm 6\)

0,25

Mà M có hoành độ âm nên \(x =  - 6\)

0,25

Vậy tọa độ của điểm M là \(\left( { - 6; - 12} \right)\)

0,25

2. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\)nên theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_{_2}} = 3\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\)

0,25

Vì \({x_1}\) là nghiệm nghiệm của phương trình nên \({x_1}^2 - 3{x_1} + 1 = 0\), suy ra  \(x_1^2 = 3{x_1} - 1\)

Do đó \[x_1^4 + 11{x_1} + 29 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + 11{x_1} + 29 = {\left( {3{x_1} - 1} \right)^2} + 11{x_1} + 29 = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30\]

\[ = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30 - 5.0 = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30 - 5.\left( {x_1^2 - 3{x_1} + 1} \right) = 4x_1^2 + 20{x_1} + 25 = {\left( {2{x_1} + 5} \right)^2}\]

Suy ra \[\sqrt {x_1^4 + 11{x_1} + 29}  = \sqrt {{{\left( {2{x_1} + 5} \right)}^2}}  = \left| {2{x_1} + 5} \right| = 2{x_1} + 5\] (vì \({x_1} > 0\) nên \[2{x_1} + 5 > 0\])

0,25

Vậy \[A = 2{x_1} + 5 + 2{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5 = 2.3 + 5 = 11\]

0,25