Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị hàm số sau theo tham số m: y = f(x) = (2 – m)x3 – 3x2 + 2. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, I luôn thuộc một parabol xác định.

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: 2 – m ≠ 0 hay m ≠ 2. (*)

Khi đó, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, ta có:

I\(\left( {\frac{1}{{2 - m}}; - 2{{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)}^2} + 2} \right)\).

Thay \(\frac{1}{{2 - m}}\) bởi x_I vào tung độ điểm I, ta có: y_I = \( - 2x_I^2\) + 2.

Biểu thức cho thấy y_I là một hàm số bậc hai theo x_r.

Suy ra tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số y = −2x² + 2.

Mặt khác, x_I = \(\frac{1}{{2 - m}}\) nên m = 2 – \(\frac{1}{{{x_I}}}\).

Vậy với mọi x_I ta luôn có m = 2 – \(\frac{1}{{{x_I}}}\) ≠ 2 (thỏa mãn *), nghĩa là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc parabol có phương trình y = −2x² + 2.