Tìm toạ độ điểm \(N\) thuộc hypebol (H) : x^2 /16 - y^2 / 9=1

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có \(a = 4,b = 3,c = 5\).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).

Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có \(N \in (H)\) nên \(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1.\quad \) (1)

Theo đề bài, ta có \(\Delta N{F_1}{F_2}\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên \(ON = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c = 5 \Rightarrow O{N^2} = 25 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 25 \Rightarrow y_0^2 = 25 - x_0^2\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{25 - x_0^2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9x_0^2 - 400 + 16x_0^2 = 144 \Leftrightarrow 25x_0^2 = 544 \Leftrightarrow x_0^2 = \frac{{544}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 4\sqrt {34} }}{5}.\)

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{81}}{{25}} \Rightarrow {y_0} = \frac{9}{5}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 9}}{5}\).

Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)\).