Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5?

20/38

Cho phương trình chính tắc của parabol \[\left( P \right)\], biết rằng \[\left( P \right)\] có đường chuẩn là đường thẳng \[\Delta :x + 4 = 0\]. Tìm toạ độ điểm \[M\] thuộc \[\left( P \right)\] sao cho khoảng cách từ \[M\] đến tiêu điểm của \[\left( P \right)\]bằng \[5\]?

\[M\left( {--1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];

\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];

\[M\left( {1;\,2} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 2} \right)\];

\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( { - 1;\,4} \right)\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] có dạng: \[{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] có đường chuẩn \[\Delta :x + 4 = 0\] nên \[\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8\].

Do đó phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] là \[{y^2} = 16x\].

Gọi \[M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)\], ta có:

\[d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 9\end{array} \right.\]

+) Với \[{x_0} = 1\] có \[{y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.\]

+) Với \[{x_0} = - 9\] có \[{y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144\](vô lí).

Vậy \[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\].