Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc elip (E): {x^2}/ {25} + {y^2}/{9} = 1

17/22

Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) sao cho \(M\) nhìn hai tiêu điểm của \((E)\) dưới một góc 60°.

Giải thích

Từ phương trình chính tắc của elip \((E)\) ta có \(a = 5,b = 3,c = 4\).

Elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) và \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(MF_1^2 - MF_2^2 = {\left( {{x_0} + 4} \right)^2} + y_0^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} - 4} \right)}^2} + y_0^2} \right] = 16{x_0}\).

Lại có, \(M \in (E)\) nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10.\) (1)

Có \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{16{x_0}}}{{10}} = \frac{8}{5}{x_0}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M{F_1} = 5 + \frac{4}{5}{x_0};M{F_2} = 5 - \frac{4}{5}{x_0}\).

Áp dụng định lí côsin cho \(\Delta M{F_1}{F_2}\), ta được:

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1} \cdot M{F_2} \cdot \cos {60^^\circ }\) \( \Leftrightarrow 64 = {\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right) \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}x_0^2\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{5\sqrt {13} }}{4}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 5\sqrt {13} }}{4}\).

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow {y_0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\).