Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho

103/120

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\), có \(A\left( {3;0} \right),B\left( { - 2;1} \right),C\left( {4;1} \right)\)

Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \({S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{2}{S_{\Delta MAB}}\)

\(M\left( {1;2} \right)\).

\(M\left( {0;1} \right)\).

\(M\left( { - 1;2} \right)\).

\(M\left( {2;1} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC;{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).MB\). Từ dữ kiện đề bài suy ra tỉ lệ độ dài giữa BC và BM , suy ra tỉ lệ vectơ. Tính được \(\overrightarrow {BM} \) từ đó suy ra tọa độ điểm M.

Lời giải

Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC}\\{{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {A,MB} \right).MB = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).MB}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{2}{S_{\Delta MAB}} \Leftrightarrow BC = \frac{3}{2}MB \Leftrightarrow MB = \frac{2}{3}BC\)

Vì \(M \in BC \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\left( {6;0} \right) = \left( {4;0} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} - {x_B} = 4}\\{{y_M} - {y_B} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} + 2 = 4}\\{{y_M} - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 2}\\{{y_M} = 1}\end{array} \Rightarrow M\left( {2;1} \right)} \right.} \right.} \right.\)