Tìm thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm A, B có độ cao bằng nhau.
25/35
Hình vẽ dưới là hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều, cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp ba tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm \(A\) ở bánh răng thứ nhất là \(h = 2R + R\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\) (trong đó \(R\) là bán kính bánh răng, \(t\) là thời gian tính bằng phút, \(h\) là độ cao của điểm \(A\)). Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau và tâm của hai bánh răng \({O_1}\), \({O_2}\) ở độ cao \(2R\) so với mặt đất. Tìm thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau.
\(t = 5\).
\(t = \frac{5}{3}\).
\(t = \frac{5}{2}\).
\(t = \frac{5}{4}\).
Lời giải
Vì hai bánh răng có cùng kích thước, tốc độ của bánh răng thứ hai gấp ba tốc độ của bánh răng thứ nhất và tại thời điểm ban đầu, hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau nên phương trình biểu thị độ cao của điểm \(B\)là \(h' = 2R + R\sin \left( {\frac{{3\pi }}{5}t} \right)\).
Hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau khi \(h = h'\). Ta có phương trình:
\(2R + R\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 2R + R\sin \left( {\frac{{3\pi }}{5}t} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{5}t} \right)\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3\pi }}{5}t = \frac{\pi }{5}t + k2\pi \\\frac{{3\pi }}{5}t = \pi - \frac{\pi }{5}t + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\pi t = k10\pi \\4\pi t = 5\pi + k10\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5k\\t = \frac{5}{4} + \frac{5}{2}k\end{array} \right.\]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Họ nghiệm thứ nhất có nghiệm dương nhỏ nhất là \(t = 5\).
Họ nghiệm thứ hai có nghiệm dương nhỏ nhất là \(t = \frac{5}{4}\).
Vậy thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động, hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau là \(t = \frac{5}{4}\) phút.
Chọn D.