Tìm tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^2} + {{m^2} - 8} x + 3\) đồng biến trên khoảng

22/22

Tìm tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^2} + \left( {{m^2} - 8} \right)x + 3\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 3)\)

Giải thích

\( + \) Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{{m^2} - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = \frac{{{m^2} - 8}}{2}\)

Vì \( - 1 < 0\): hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{{m^2} - 8}}{2}; + \infty } \right)\)

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 3)\) thì:

\(( - \infty ; - 3) \subset \left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{{m^2} - 8}}{2} \ge - 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow (m - \sqrt 2 )(m + \sqrt 2 ) \ge 0\)

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2 \le 0}\\{m + \sqrt 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \sqrt 2 }\\{m \le - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \le - \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2 \ge 0}\\{m + \sqrt 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \sqrt 2 }\\{m \ge - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \ge \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Vậy, \(m \in ( - \infty ; - \sqrt 2 ] \cup [\sqrt 2 ; + \infty )\) là các giá trị cần tìm.