Tìm tham số \(m\) để các đường thẳng sau đây song song:

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;2)\).

Điều kiện cần: \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}\) cùng phương với \({\vec n_2}\)

\( \Rightarrow 1.2 = (m + 1)m \Rightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - 2}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Thử lại (điều kiện đủ):

- Với \(m = 1\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 - 2t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}:x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.

- Với \(m =  - 2\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 + t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}: - 2x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn đề bài.

Vậy ta tìm được hai giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m = 1;m =  - 2\).