Tìm tất cả tham số m để: f( x ) = ( {m - 1}){x^2} + 2( {m - 1} x + m - 3 không dương với mọi

2/234

Tìm tất cả tham số \(m\) để: \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(m \le 1\)

\(m < 1\)

\(m > 1\)

\(m \ge 1\)

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Ta có: \(a = m - 1,b = 2\left( {m - 1} \right),b' = m - 1,c = m - 3\).

Theo giả thiết: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( {\rm{*}} \right)\)

Trường hợp 1: \(a = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\).

Thay vào \(\left( {\rm{*}} \right):1 - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).

Suy ra \(m = 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m - 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne 1\).

\(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{2m - 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m \le 1}\end{array} \Leftrightarrow m < 1} \right.} \right.\).

Hợp hai kết quả trên, ta được \(m \le 1\) thỏa mãn đề bài.