Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình Ax^10 + Ax^9 = 9Ax^8

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).

Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ }}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x = 11\).