Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình 2 sin^3 2x − ( 2 m − 1 ) sin^2 2x + ( 3 m − 5 ) sin 2x − m + 2 = 0 có đúng 10 nghiệm thuộc đoạn [ 0 ; 3PI/ 2 ] .

Ta có \(2{\sin ^3}2x - \left( {2m - 1} \right){\sin ^2}2x + \left( {3m - 5} \right)\sin 2x - m + 2 = 0\)

        \( \Leftrightarrow \left( {2\sin 2x - 1} \right)\left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {\sin 2x + 2 - m} \right) = 0\)

       \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = \frac{1}{2}}\\{\sin 2x = 1}\\{\sin 2x = m - 2}\end{array}} \right.\).

Do \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin 2x\)

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy

+ Phương trình \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)

+ Phương trình \(\sin x = 1\) có 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)

+ Để phương trình có 10 nghiệm thuộc đoạn  \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le m - 2 < 1}\\{m - 2 \ne \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \le m < 3}\\{m \ne \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) .