Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) để\

2/5

Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) để\({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n}\) là số chính phương.

Cho biểu thức\[A = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{1 + x + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - \sqrt x - 2}}} \right)\] với \[x \ge 0,x \ne 1,x \ne 4.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Giả sử số tự nhiên \(n\) thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương \(k\) sao cho

\({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n} = {k^2} \Leftrightarrow {9.2^{2024}} + {2^n} = {k^2} \Leftrightarrow \left( {k + {{3.2}^{1012}}} \right)\left( {k - {{3.2}^{1012}}} \right) = {2^n}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + {3.2^{1012}} = {2^a}\\k - {3.2^{1012}} = {2^b}\\a,b \in \mathbb{N},a + b = n\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {2^a} - {2^b} = {3.2^{1013}}\) .

\( \Leftrightarrow {2^b}({2^{a - b}} - 1) = {3.2^{1013}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{a - b}} - 1 = 3\\{2^b} = {2^{1013}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 2\\b = 1013\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1015\\b = 1013\end{array} \right. \Rightarrow n = 2028\)

Vậy với \(n = 2028\)thì \({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n}\) là số chính phương: