Tìm tất cả các số tự nhiên n (1 ≤ n ≤ 2000) để biểu thức B = 1.3 + 2.4 +...+ n(n + 2) chia hết cho 2027.

B = 1.3 + 2.4 +...+ n(n + 2)

B = 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + … + n(n + 2)

B = 1² + 2 + 2² + 2.2 + … + n² + 2n

B = (1² + 2² + … + n²) + (2 + 2.2 + … + 2n)

B=nn+12n−16+nn+1

B=nn+12n+56

Để B chia hết cho 2027 thì nn+12n+56 chia hết cho 2027.

Suy ra: 2n + 5 ⋮ 2027

⇒ 2n + 5 = 2027

Vậy n = 1011.