Tìm tất cả các số thực x sao cho tan ( π /12 − x ) , tan π 12 , tan ( π/ 12 + x ) tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự nào đó.

Lời giải:

Đặt \[a = \tan \frac{\pi }{{12}}\] và \[y = \tan x\]. Xét ba trường hợp của 3 thứ tự:

Trường hợp 1: \[\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\frac{\pi }{{12}}:\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{{1 + ay}}.\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - {y^2} = {a^2}\left( {1 - {a^2}{y^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{a^4} - 1} \right){y^2} = 0\] . Vì \[a \ne \pm 1\] ta có \[y = 0\]

Do đó \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow a\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {\left( {\frac{{a - y}}{{1 + ay}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)y\left[ {a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a} \right] = 0\]

Ta có: \[y = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\]

Khi \[a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a = 0\] vì \[a = \tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2 - \sqrt 3 \]

nên \[{y^2} - 2\sqrt 3 y + 3 = 0\], suy ra \[{y_1} = {y_2} = \sqrt 3 .\]

Do đó \[\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 3: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)\]

Thay \[x\] bởi \[ - x\], dựa vào kết qyả trên thì nghiệm bài toán là: \[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy các số cần tìm là \[x = k\pi \] và \[x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].