Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho p và q thỏa mãn: p^3-q^5=(p q)^2

Đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.

Khi đó, p ≡ 1, 2 (mod3), và q ≡ 1, 2 (mod3).

Nếu q ≡ p (mod3) thì vế trái chia hết cho 3, mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p = 3 thì q⁵ < 27, điều đó là không thể
Nếu q = 3 , ta được p³ – 3⁵ = (p + 3)²

⇔ p³ – 243 = (p + 3)²

⇔ p³ – 243 = p² + 6p + 9

⇔ p³ – p² – 6p – 252 = 0

⇔ p = 7

Vậy p = 7 và q = 3.