Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình

Ta có: kx2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 (*)

(*) với k = 0

Phương trình (*) ⇔ x − 2 = 0

⇔ x = 2

(*) với k khác 0 thì phương trình (*) là phương trình bậc 2 

Δ = (1 − 2k)2 − 4k(k − 2) = 4k2 − 4k + 1 – 4k2 + 8k = 4k + 1

Để pt có nghiệm hữu tỉ khi 4k + 1 là số chính phương 

⇒ 4k+1= a2 (1) 

Vì 4k + 1 là số lẻ ⇒ a2 là số lẻ

⇒ a là số lẻ

⇒ a = 2n + 1 (n thuộc Z) thay vào (1) ta có 

4k + 1 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1

⇔ 4k = 4n(n + 1)

⇔ k = n(n + 1)

Vậy với k = n(n + 1) thì phương trình luôn có nghiệm hữu tỉ (n thuộc Z).