Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn: 2z−4x/3=3x−2y/4=4y−3z/2và 200<y^2+z^2<450.

Ta có \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} \Leftrightarrow \frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{6z - 12x + 12x - 8y + 8y - 6z}}{{9 + 16 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0\)

Do đó \(6z = 12x = 8y\)

Đặt \(6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right)\). Khi đó \(\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right) = \left( {2k\,;\,\,3k\,;\,\,4k} \right)\).

Theo giả thiết \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\) nên \(200 < 9{k^2} + 16{k^2} < 450\).

Suy ra \(200 < 25{k^2} < 450\) nên \(k \in \left\{ {3\,;\,\,4} \right\}\).

Từ đó tìm được \(\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right) \in \left\{ {\left( {6\,;\,\,9\,;\,\,12} \right)\,;\,\,\left( {8\,;\,\,12\,;\,\,16} \right)} \right\}\).