Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho hai số \({n^2} - 2n - 7\)

Đặt \({n^2} - 2n - 7 = {a^3};\,\,{n^2} - 2n + 12 = {b^3}\)   (với \(a,{\rm{ }}b \in {\mathbb{N}^*}\))

Dễ thấy  \(a < b\)

Ta có \({b^3} - {a^3} = \left( {{n^2} - 2n + 12} \right) - \left( {{n^2} - 2n - 7} \right) = 19\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right) = 19\)

Vì \(a,{\rm{ }}b \in {\mathbb{N}^*}\), \(b > a\), \({b^2} + ab + {a^2} > b - a\) và \(19\) là số nguyên tố nên

\(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 1\\{b^2} + ab + {a^2} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b =  - 2\end{array} \right.\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 3{\rm{  }}(L)\\n = 5{\rm{  }}(TM)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 5\)

Vậy \(n = 5\) là giá trị cần tìm.