Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x^2 + x + 1991 là một số chính phương.

Đặt x² + x + 1991 = a² (với a > 0).

4x² + 4x + 7964 = 4a²

(2x + 1)² + 7963 = 4a²

(2x + 1)² – 4a² = –7963

(2x + 1 – 2a)(2x + 1 + 2a) = –7963.

Mà 7963 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 1 - 2{\rm{a}} = - 1\\2{\rm{x}} + 1 + 2{\rm{a}} = 7963\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - {\rm{a}} = - 1\\{\rm{x}} + {\rm{a}} = 3981\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 1990\\{\rm{a}} = 1991\end{array} \right.\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 1 - 2{\rm{a}} = - 7963\\2{\rm{x}} + 1 + 2{\rm{a}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - {\rm{a}} = - 3982\\{\rm{x}} + {\rm{a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = - 1991\\{\rm{a}} = 1991\end{array} \right.\).

Vậy x = 1990 và x = –1991 là các giá trị thỏa mãn.