Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: (3x ‒ 16y ‒24)^2 = 9x^2 + 16x + 32.

Lời giải:

(3x ‒ 16y ‒24)² = 9x² + 16x + 32

[3x ‒ (16y + 24)]² = 9x² + 16x + 32

9x²−6x(16y+24)+(16y+24)²=9x²+16x+32

−96xy – 144x + 256y² + 768y + 576 = 16x + 32

256y² − 96xy – 160x + 768y + 544 = 0

x(3y+5)=8y²+24y+17

\[x = \frac{{8{y^2} + 24y + 17}}{{3y + 5}}\]

\[9x = \frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}}\]

Do x ∈ ℤ nên \[\frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{{72{y^2} + 216y + 153}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra \[\frac{{24y\left( {3y + 5} \right) + 32\left( {3y + 5} \right) - 7}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Do đó \[24y + 32 - \frac{7}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Mà y ∈ ℤ nên 3y + 5 ∈ Ư(7), mà Ư(7) = {‒7; ‒1; 1; 7}.

Ta có bảng giá trị:

3y + 5	‒7	‒1	1	7
y	‒4	‒2	\( - \frac{4}{3}\)	\(\frac{2}{3}\)

Do y ∈ ℤ nênta chọn y ∈ {‒4; ‒2}.