Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x ^ 3 - 1/2 mx^2 + 2mx -3m + 4

Phương pháp giải

Ứng dụng hệ thức Vi-et, quy tắc xét dấu tam thức bậc 2.

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có \(y' = {x^2} - mx + 2m.\)

Vì a=1>0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta > 0.\)

Ta có \(\Delta = {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0,}\\{m > 8.}\end{array}} \right.\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình\(y' = 0\), theo định lí Vi-et: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m,}\\{{x_1}{x_2} = 2m.}\end{array}} \right.\)

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài 3 nên \(|{x_1} - {x_2}| = 3 \Leftrightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9.\)

Suy ra \({({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} - 8m = 9.\)

\(m = - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad m = 9.\)

Kết hợp với điều kiện nghiệm, cả hai giá trị đều thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Với \(f'\left( x \right)\) là tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\;\left( {a > 0} \right),\;f'\left( x \right) < 0\) trên khoảng giữa hai nghiệm thực phân biệt \({x_1} < {x_2}\)

·       Dùng Viète: \(\sqrt {{x_2} - {x_1} = {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \;\); hoặc trực tiếp để gắn với \(L\).