Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y ={tan}}x - 2} / {tan}}x - m đồng biến trên khoảng

4/235

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{\rm{tan}}x - 2}}{{{\rm{tan}}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)?

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{1 \le m < 2}\end{array}} \right.\).

\(m \le 0\).

\(1 \le m < 2\).

\(m \ge 2\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải
Đặt \(t = {\rm{tan}}x\), khảo sát hàm số nhận được

Lời giải
Đặt \(t = {\rm{tan}}x\), vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\forall t \in \left( {0;1} \right)\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\)
Ta có\(:f'\left( t \right) = \frac{{2 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}\)
Để hàm số \(y\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - m > 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0\left] \cup \right[1;2} \right)} \right.} \right.\)