Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y =( tan x − 2)/( tan x − m) đồng biến trên khoảng ( 0 ; pi/ 4 ) ?

30/49

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{\rm{tan}}x - 2}}{{{\rm{tan}}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)?

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{1 \le m < 2}\end{array}} \right.\).

\(m \le 0\).

\(1 \le m < 2\).

\(m \ge 2\).

Giải thích

Đặt \(t = \tan x\).

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên \(t \in \left( {0;1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}},\forall t \in \left( {0;1} \right)\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{2 - m}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên

\( \Leftrightarrow f'\left( t \right) > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} > 0\forall t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - m > 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0\left] \cup \right[1;2} \right)} \right.} \right.\). Chọn A.