Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x^3 – 3mx + 2 = 0 có nghiệm duy nhất

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình x³ – 3mx + 2 = 0 (*)

+) x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*)

+) x ≠ 0

 (*)⇔x3+2=3mx⇒x3x+2x=3m⇔x2+2x=3m

Xét hàm số

 y=x2+2x(x≠0)⇒y'=2x−2x2=0⇔x3−1x2=0⇒x3−1=0⇔x=1⇒y(1)=3

Ta có bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm số   y=x2+2x tại một điểm duy nhất nên 3m < 3 ⇔ m < 1

Vậy ta chọn đáp án A.