Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin^6x + cos^6x − sin^2(2x) = m có 4 nghiệm thuộc đoạn [−pi/4; pi/4].

24/24

(0.5 điểm).Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[{\sin ^6}x + {\cos ^6}x - {\sin ^2}4x = m\]có \[4\] nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$

Phương trình trở thành $8{\cos ^2}4x + 3\cos 4x = 8m + 3$

Đặt $t = \cos 4x,$ với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ nên $t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó phương trình trở thành $8{t^2} + 3t = 8m + 3\,\,\,(*)$

Ứng với mỗi $t \in {\rm{[}} - 1;1)$ thì phương trình $\cos 4x = t$ sẽ có ta hai giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Với $t = 1$ thì phương trình $\cos 4x = t$ cho ta đúng một giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm $t$ phân biệt thuộc ${\rm{[}} - 1;1)$.

Xét hàm $f(t) = 8{t^2} + 3t$ trên ${\rm{[}} - 1;1)$.

Bảng biến thiên

$Trong (SAB) có \[MI \cap SB = K \R (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

$ \Leftrightarrow - \frac{9}{{32}} < 8m + 3 \le 5 \Leftrightarrow - \frac{{105}}{{256}} < m \le \frac{1}{4}$. Kết luận.