Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^3 – 3x^2 + (1 – m)x đồng biến trên (2; + vô cùng)

a) Xét f(x) = x³ – 3x² + (1 – m)x trên (2; +).

TXĐ: $\text{D}=ℝ.$

Ta có: f’(x) = 3x² – 6x + 1 – m.

Để f(x) đồng biến trên (2; +) thì f’(x) ≥ 0 x (2; +).

3x² – 6x + 1 – m ≥ 0 x (2; +)

m ≤ $\underset{\left(2;+\infty \right)}{min}\left(3{\text{x}}^2-6\text{x}+1\right)$.

Đặt g(x) = 3x² – 6x + 1, g’(x) = 6x – 6 = 0 x = 1.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy m ≤ $\underset{\left(2;+\infty \right)}{min}\left(3{\text{x}}^2-6\text{x}+1\right)$ m ≤ 1

b) Xét f(x) = $\frac{\text{x}+3}{\text{x}+\text{m}}$ trên (–; –6).

TXĐ: D = $ℝ\backslash \left\{-\text{m}\right\}$.

Để hàm số f(x) = $\frac{\text{x}+3}{\text{x}+\text{m}}$ đồng biến trên (–; –6), ta có:

$\iff \{\begin{array}{l}{\text{f}}^{\prime }\left(\text{x}\right)>0\\ -\text{m}\cancel{\in }\left(-\infty ;-6\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{m}-3>0\\ -\text{m}\ge -6\end{array}\iff 3<\text{m}\le 6.$

Vậy 3 < m ≤ 6 thì y = $\frac{\text{x}+3}{\text{x}+\text{m}}$ đồng biến trên (–; –6).