Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)}\\{\frac{{ - e}}{d} \notin \left( {a;b} \right)}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ m \right\}\)

Ta có:

\(y' = \frac{{{x^2} - 2mx + 2m}}{{{{(x - m)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 2mx + 2m}}{{{{(x - m)}^2}}}}\\{m \notin \left( { - 1;1} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2mx + 2m \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\left( {\rm{*}} \right)}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le - 1}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Xét bất phương trình (*) \({x^2} - 2mx + 2m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m\left( {x - 1} \right)\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vì \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \le 2m\)

Đặt

\(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 \notin \left( { - 1;1} \right)}\\{x = 0 \in \left( { - 1;1} \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Kết hợp với yêu cầu bài toán và các điều kiện \( \Rightarrow m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)