Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số

6/22

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

\(m > \frac{7}{3}\).

\(m < \frac{7}{3}\).

\(m \le \frac{7}{3}\).

\(m \ge \frac{7}{3}\).

Giải thích

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

* Xét \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(f\left( x \right) = 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\), loại \(m = 2\).

* Xét \(m \ne 2\)

\(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \ge \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}\)

Vậy \(m \ge \frac{7}{3}\)