Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x^3 − 3 mx^2 + 3 m^2 có hai điểm cực trị là A và B ; đồng thời hai điểm A , B cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giá

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx;y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2m}\end{array}} \right.\)
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên \(m \ne 0\)
Ta có: \(A\left( {0;3{m^2}} \right),B\left( {2m;3{m^2} - 4{m^3}} \right)\)

          \(\begin{array}{*{20}{c}}{ \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}}  = 2\left| m \right|\sqrt {1 + 4{m^4}} }\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(AB:y =  - 2{m^2}x + 3{m^2} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 3{m^2} = 0\)  \({\rm{(\Delta )}}\)

Diện tích  bằng 24 nên
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\left| m \right|\sqrt {1 + 4{m^4}}  \cdot \frac{{\left| { - 3{m^2}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = 24\)\( \Leftrightarrow |m{|^3} = 8 \Leftrightarrow \left| m \right| = 2 \Leftrightarrow m =  \pm 2\) (thỏa mãn \(m \ne 0\) ).