Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .

12/22

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)nghiệm đúng với mọi \(x\).

\(m \in \left( { - 5;0} \right)\).

\(m \in \left[ { - 5;0} \right]\).

\(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

\(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\).

Giải thích

Ta có \({\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{ - {x^2} - 2mx - 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} - 2mx - 1 \le 2x - 3m \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0\).

Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3m + 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} + 3m - 1 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 0\). Chọn B.