Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A . B có giá trị nguyên

\(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x  + 2}}\)+ Xét \(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x  + 2}}\) ( thoả mãn đk )

+ Xét \(P \ne 0\)

TH1: \(x \in \mathbb{Z};x \ne 7;\sqrt x \)là số vô tỉ \(P \notin \mathbb{Z}\) ( loại)

TH2: \(x \in \mathbb{Z},\sqrt x  \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} = \sqrt x  - 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x  - 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x  + 2 \in \)Ư(3)

Vậy \(\sqrt x  + 2 \in \left\{ {1;3} \right\}\)

Do \(\sqrt x  + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\) ( thoả mãn )

Vậy với \(x \in \left\{ {1;7} \right\}\); thì P có giá trị nguyên