Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2025) để

Đáp án đúng là "2023"           

Phương pháp giải

Tính giới hạn và đánh giá

Lời giải

\({\rm{lim}}\sqrt {\frac{{{5^n} + {3^{n + 2}}}}{{{4^{n + 1}} + {5^{n + 2a}}}}}  = {\rm{lim}}\sqrt {\frac{{1 + 9.{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n}}}{{4.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + {5^{2a}}}}}  = {\rm{lim}}\sqrt {\frac{1}{{{5^{2a}}}}}  = \frac{1}{{\sqrt {{5^{2a}}} }}\)

Theo đề ta có: \({\rm{lim}}\sqrt {\frac{{{5^n} + {3^{n + 2}}}}{{{4^{n + 1}} + {5^{n + 2a}}}}}  \le \frac{1}{{125}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{5^{2a}}} }} \le \frac{1}{{125}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{5^{2a}}}} \le \frac{1}{{{5^3}}} \Rightarrow {5^{2a}} \ge {5^3} \Rightarrow 2a \ge 3 \Rightarrow a \ge \frac{3}{2}\)

Mà: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \in \left( {0;2025} \right)}\\{a \in \mathbb{Z}}\end{array} \Rightarrow a \in \left\{ {2;3;4;5;..2024} \right\}} \right.\)

Vậy có 2023 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán