Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2m + m cắt đồ thị (H) của hàm số y = 2x+3/x+2

15/21

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=−2x+m cắt đồ thị (H) của hàm số y=2x+3x+2 tại hai điểmA, B phân biệt sao cho P=k12018+k22018 đạt giá trị nhỏ nhất (với k1,k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).

m=−3

m=−2

m=3

m=2

Giải thích

Ta có: y'=1x+22

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

−2x+m=2x+3x+2⇔x+2−2x+m=2x+3⇔−2x2+m−4x+2m=2x+3⇔2x2+6−mx+3−2m=0∗

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác −2

⇔Δ=(6−m)2−8(3−2m)>02.(−2)2+(6−m).(−2)+3−2m≠0⇔m2+4m+12>0−1≠0 (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là x1,x2 khi đó: x1+x2=m−62x1x2=3−2m2

Ta có:

k1.k2=1x1+22.1x2+22=1x1+2x2+22

=1x1x2+2x1+x2+42=13−2m2+2.m−62+42

=13−2m+2m−12+822=4

Khi đó P=k12018+k22018≥2k1k21009=2.41009=22019

Dấu “=” xảy ra khi k1=k2=2 hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

⇔I∈d⇔2=−2.−2+m⇔m=−2

Đáp án cần chọn là: B